分式不等式习题

前言

分式不等式对学生而言，是个很容易出错的数学素材。

必备技能

分类讨论，穿针引线法，转化划归，符号法则

• 分式转化为整式的依据

\(\cfrac{f(x)}{g(x)}>0(<0)\) \(\Leftrightarrow\) \(f(x)\cdot g(x)>0(<0)\)；

\(\cfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0(\leqslant 0)\) \(\Leftrightarrow\) \(f(x)\cdot g(x)\geqslant 0(\leqslant 0)\)且\(g(x)\neq 0\)；

典例剖析

• 基本类型

解关于\(x\)的分式不等式\(\cfrac{1}{x}\geqslant 1\) . ^[1]

【错解】：去分母得到\(x\leq 1\)，这是错误的，原因是分母可能取到正负两种可能。

【法1】：分类讨论去分母，由于\(x\neq 0\)，故原不等式等价于以下的两个不等式组：

\(\begin{cases}x>0\\1\ge x\end{cases}\)或\(\begin{cases}x<0\\1\leq x\end{cases}\)，解得\(0<x \leq 1\)。

【法2】：穿针引线法，移项得到\(\cfrac{1-x}{x}\ge 0\)，再变形得到\(\cfrac{x-1}{x}\leq 0\)，解得\(0<x \leq 1\)。

【法3】：转化法，由商的符号法则得到，\(\begin{cases}&x(1-x)\ge 0\\&x\neq 0\end{cases}\)，解得\(0<x \leq 1\)。

解后反思：受解方程的思维定势的影响，学生最容易想到法1，但是却往往注意不到不等式的性质而直接去分母出错；法2的解法很快速，但是对学生的要求比较高；法3比较慢。

• 高阶类型

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}\geqslant 0\)，

分析：原不等式分解变形为\(\cfrac{(3x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}\geqslant 0\)，约分得到

\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{3x+1}{x+1}\geqslant 0①}\\{x-1\neq 0②}\end{array}\right.\)，

用穿根法解①得到，\(x<-1\)或\(x\geqslant -\cfrac{1}{3}\)；解②得到\(x\neq 1\)，

求交集，故解集为\((-\infty，-1)\cup[-\cfrac{1}{3}，1)\cup(1，+\infty)\)

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{2x^2+3x+1}{x-2}>0\)，

分析：原不等式变形为\(\cfrac{(2x+1)(x+1)}{x-2}>0\)，

用穿根法解得，解集为\(x\in(-1，-\cfrac{1}{2})\cup(2，+\infty)\)；

常见分式不等式，用穿根法求解；

• 解不等式\(\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)，

分析：由于\(e^x>0\)，故原不等式等价于\(\cfrac{(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)，

用穿根法解得，解集为\(x\in(-\infty，-1)\cup(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)；

注意：\(x=0\)为二次重根；

对应练习

可以使用转化法或者穿根法求解；

解不等式\(x<\cfrac{1}{x}<x^2\)；

分析：先转化为\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分别求解，

解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，

①②求交集得到，解集为\((-\infty，-1)\).

解不等式\(\cfrac{2}{x+1}<1\)；

提示：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

解不等式\(\cfrac{x-2}{x^2-1}<0\)；

提示：\((-\infty,-1)\cup(1,2)\)

解不等式\(\cfrac{x^2-x-6}{x}\leqslant 0\)；

提示：\((-\infty,-2]\cup(0,3]\)

解不等式\(\cfrac{6}{x-4}+1<0\)；

提示：\((-2,4)\)

函数\(y=lg\cfrac{x-a^2-2}{2a-x}(a\in R)\)的定义域为集合\(B\)，化简集合\(B\);

分析：由于\((a^2+2)-2a=(a^2-2a+1)+1=(a-1)^2+1>0\)，故\(a^2+2>2a\)；

由\(\cfrac{x-a^2-2}{2a-x}>0\)，变形得到\(\cfrac{x-a^2-2}{x-2a}<0\)，

用穿根法或转化法，得到\(2a<x<a^2+2\)；注意此时应该想到比较两个根的大小，若不能确定大小，应该想到作差法

故集合\(B=(2a，a^2+2)\)；

关于\(x\)的不等式\(a^2x^2+ax-2=0\)在\([-1,1]\)上有解，求\(a\)的取值范围；

分析：\(a^2x^2+ax-2=0\)，即\((ax+2)(ax-1)=0\)；显然\(a\neq 0\)

则\(-1\leqslant \cfrac{1}{a}\leqslant 1\)或\(-1\leqslant -\cfrac{2}{a}\leqslant 1\)

若常规方法，利用解分式不等式求解，太浪费时间，注意到题目的特点，此处换用绝对值不等式求解；

即\(|\cfrac{1}{a}|\leqslant 1\)或\(|\cfrac{2}{a}|\leqslant 1\)

即\(|a|\geqslant 1\)或\(|a|\geqslant 2\)，

则\(|a|\geqslant 1\)，即\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant 1\)。

解关于 \(a\) 的不等式\(0<\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}\)；

解：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{a}{e^a}>0①\\\cfrac{a}{e^a}<\cfrac{1}{e}②\end{array}\right.\)

解①得到，\(a>0\)，

②式化简为\(e^{a-1}>a\)③，

利用 \(y=e^{a-1}\) 和 \(y=a\) 图像可得，\(e^{a-1}\geqslant a\)，

故解③式得到，\(a\neq 1\)；

即原双连不等式的解集为\(a\in (0,1)\cup (1,+\infty)\)；

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1. 这个小例题基本上把分式不等式的求解思路都包含在内了。 ↩︎